var bcd = null; var ttit = null; var netto = null;

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Brunnentiefe

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    Hallo!
    Als Hausaufgabe wurde uns folgende Aufgabe gestellt:
    Um die Tiefe eines Brunnens zu prüfen schüttet jemand von oben Wasser in einen Brunnen.
    Nach $4,3s$ ist der Aufschlag zu hören.
    Berechne die Brunnentiefe
    a) ohne Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit
    b) unter Berücksichtigung der Schallgeschwindigkeit $v_{Schall}= 330m/s$
    Den ersten Teil der Aufgabe konnte ich über die Formel des freien Falls $h=\frac{1}{2}\,gt^2$ lösen und habe als Ergebnis $h= 90,7m$.
    Ich weiß aber nicht wie ich an den b) Teil rangehen soll.
    Folgendes war mein erster Ansatz:
    Die gegebene Zeit umfasst den Fall bis zum Aufprall und dann den Rückweg des Schalls. Also nach unten eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung und dann nach oben eine gleichförmige.
    .....................


  • #2

    \noindent
    Was du gedacht hast inklusive Formel, ist richtig.
    \noindent a) $h= 0.5 \cdot 9,81\ m/s^2 \cdot (4,3\ s)^2 = 90,7\ m$ - bravo!\ \emo{1.0}{1F600}
    \noindent b)
    \noindent
    \begin{bemph}
    &\bl{h}=\frac{1}{2}\gr{g}\re{t}_{\re{1}}^2 &:&\quad \text{gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten}\\
    &\bl{h}=\gr{v_{\text{Schall}}}\re{t_2}&:&\quad \text{gleichförmige Bewegung des Schalls nach oben}\\
    &\gr{t}=\re{t_1}+\re{t_2}
    \end{bemph}
    Die Farben bedeuten folgendes:
    \gr{grün - gegebene Größen}
    \bl{blau - gesuchte Unbekannten}
    \re{rot - nicht gesuchte Unbekannten}
    Die physikalische Grundlage dieses Gleichungssystems hast du sehr schön erklärt. Jetzt kommt die Mathematik an die Reihe.
    \begin{bemph}
    &t_1 = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\\
    &t_2 = \dfrac{h}{v_{\text{Schall}}}\\
    &t= \sqrt{\dfrac{2h}{g}} + \dfrac{h}{v_{\text{Schall}}}
    \end{bemph}
    Weiter wird empfohlen die numerischen Werte in die Gleichung (6) einzusetzen.
    $t=\sqrt{\dfrac{2}{g}}\cdot \sqrt{h}+ \dfrac{h}{v_{\text{Schall}}}$
    \bq 4,3 = 0,45\cdot \sqrt{h} + \dfrac{h}{330} \eq
    Wir multiplizieren jetzt Gleichung (7) mit $330$:
    \bq h+148,5\ \sqrt{h}-1419=0 \eq
    Jetzt machen wir eine Variablensubstitution in Gleichung (8)
    \bq x=\sqrt{h} \eq
    Dadurch wird Gleichung (8) zu:
    \bq x^2+148,5\,x-1419=0 \eq
    Das ist eine quadratische Gleichung in $x$. Mit der Mitternachtsformel ermitteln wir die 2 Lösungen:
    $x_1=9,\quad x_2=-157,5$
    Die richtige Lösung ist positiv.
    \bq h=x_1^2=81\ m \quad (\text{\textbf{Antwort}})\eq
    ..........................


    \rule{\textwidth}{0.1mm}\\ \\
    Herzliche Grüße,$\ \ \ $\emo{2.0}{1F60A}\\
    archimedes


    webmaster@physon.org

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